• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Российский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре

Сергей Ландо, профессор факультета математики, — о том, почему на доказательство этой гипотезы понадобилось больше 100 лет

Давайте сначала поговорим о том, в чем суть гипотезы Пуанкаре. Представим себе, что нас интересует форма земной поверхности, и мы хотим ее определить с помощью каких-то доступных нам способов. Откуда мы вообще знаем, что земля круглая? Это люди обнаружили уже очень давно, наблюдая лунные затмения и сообразив, что их причина – тень, которую Земля отбрасывает на Луну. Эта тень круглая, а значит, круглой является и сама Земля.

Но если бы земное небо было всегда затянуто облаками и мы не могли наблюдать лунные затмения, или если бы у Земли не было спутника, задача бы серьезно усложнилась.

Однако у нее все равно есть вполне доступное решение: можно поставить много геодезических  вышек, разбив поверхность Земли на треугольники, т.е. выполнить геодезическую триангуляцию. Посчитав количество треугольников, количество их ребер и количество вышек в этой триангуляции, мы получим три числа. Если, вычтя количество ребер из суммы количества вышек и количества треугольников, мы получим двойку, то мы можем уверенно утверждать, что поверхность Земли — это сфера. Для этого нам не нужно видеть тень, которую отбрасывает Земля, не нужно летать в космос, чтобы посмотреть на Землю со стороны. Если же получится, скажем, ноль, то мы с уверенностью можем сказать, что это поверхность бублика, поверхность тора.

В трехмерной ситуации все сложнее. Предположим, что мы хотим узнать, что представляет из себя наша трехмерная вселенная. Даже если бы мы смогли ее триангулировать, это бы нам никак не помогло, потому что, если мы возьмем число вершин триангуляции, вычтем число ребер, прибавим число треугольников и вычтем число трехмерных тетраэдров, то мы получим ноль, вне зависимости от того, с какой поверхностью имеем дело. Мы не можем заключить отсюда, что вселенная является сферой.

Пуанкаре предложил другой способ идентификации трехмерной сферы. Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если любая петля на нашей трехмерной поверхности стягивается в точку, то эта трехмерная поверхность является сферой. И Перельман смог это доказать.

Десятки людей до него пробовали доказать эту гипотезу. Собственно, Перельман следовал работам своих предшественников. В первую очередь Ричарда Гамильтона, разработавшего подход, который, как он считал, приведет к доказательству гипотезы Пуанкаре. Так и случилось, но самому Гамильтону не удалось получить окончательный результат – понадобились способности и накопленный ранее в петербургской геометрической школе исследовательский опыт Перельмана.

В практическом смысле, если говорить о практике математики, доказательство гипотезы Пуанкаре поставило кучу новых вопросов. В науке часто бывает, что выдающийся результат не только отвечает на поставленные ранее вопросы, но и порождает массу новых.

Сейчас во всем мире методами Гамильтона и Перельмана пытаются решать другие задачи. В частности, задачу классификации трехмерных многообразий, не поддающуюся усилиям математиков уже больше сотни лет. Хотя надежда на то, что методы, которые использовали Гамильтон и Перельман, приблизят к ее решению, тоже не очень большая. Но пробовать надо, и люди пробуют.

Гипотеза Пуанкаре являлась одной из «проблем тысячелетия». Есть в США Математический институт Клэя, благотворителя, который выделил деньги на создание этого института и обеспечивает его функционирование. Он пригласил туда весьма известных исследователей.

Когда наступало новое тысячелетие в 2001 году, ученые из этого института выделили ключевые проблемы из числа тех, которыми сейчас занимаются математики по всему миру. Семь задач, решение каждой из которых, как они считают, может оказать принципиальное воздействие на развитие математики, может позволить совершить скачок в понимании математического мира. И за решение каждой из этих проблем предложена награда в миллион долларов. И вот Перельман одну из этих проблем решил – но предложенный ему миллион не принял.

Мнение экспертов не является выражением позиции университета